Mathematik KAI/KAF25 – Lernportal Differentialrechnung

👋 Willkommen im Lernmodul Differentialrechnung (KAI/KAF25)

Hier findest du alle interaktiven Tafelbilder aus dem Unterricht, die zugehörigen DIN-A4-Arbeitsblätter (inklusive einblendbarer Musterlösungen) sowie die Stufen-Trainer für deine Selbstlernphase.

1️⃣ Tafelbild interaktiv erkunden 2️⃣ Arbeitsblatt lösen & prüfen 3️⃣ Im Stufen-Trainer (Leicht → Schwer) üben

📊 Dein persönlicher Lernfortschritt

📖 Kompakt-Spickzettel: Alle Regeln der Stunden 1 bis 3 auf einen Blick

1. Sekante vs. Tangente (Stunde 1)

• Sekantensteigung (2 Punkte P & Q):
m_s = ΔyΔx = f(x₂) − f(x₁)x₂ − x₁ (Differenzenquotient)
• Tangentensteigung (1 Punkt, Q → P):
m_t = f'(x₀) (Differentialquotient / Ableitung)

2. Die 3 Ableitungsregeln (Stunde 2)

• Potenzregel: f(x) = xⁿ ⇒ f'(x) = n · xⁿ⁻¹
• Faktorregel: f(x) = c · xⁿ ⇒ f'(x) = c · n · xⁿ⁻¹
• Konstantenregel: Zahl ohne x beim +/− fällt weg!
Beispiel: f(x) = 2x³ − 5x + 9 ⇒ f'(x) = 6x² − 5

3. Tangentengleichung aufstellen (Stunde 3)

Gesucht ist die Tangente t(x) = m · x + b an der Stelle x₀:
Schritt 1 (Punkt): y₀ = f(x₀) berechnen → P(x₀ | y₀)
Schritt 2 (Steigung): Ableiten & m = f'(x₀) berechnen
Schritt 3 (Achsenabschnitt b): x₀, y₀, m in y₀ = m · x₀ + b einsetzen und nach b auflösen.

Stunde 1

Von der Sekante zur Tangente: Differenzen- & Differentialquotient

🌱 Einstieg in die Differentialrechnung

Lernziele: • Warum versagt das Steigungsdreieck bei Kurven? • Das 0/0-Problem verstehen • Mittlere Änderungsrate (Sekante) vs. lokale Änderungsrate (Tangente)

🖥️ Interaktives Tafelbild Erledigt

Grafiklabor: Sekante → Tangente

Mit der „Steigungs-Lupe“, dem drehbaren Lineal im Punkt P(2 | 4) und dem Sekanten-Labor (Q wandert auf P).

▶ Tafelbild & Labor öffnen

📄 DIN-A4 Arbeitsblatt Erledigt

Arbeitspapier Stunde 1 (mit Lösungen)

Annäherungstabelle für P(2 | 4) und P(1 | 1), Begriffscheck (DQ vs. DiffQ) und Ausblick auf f'(x) = 2x.

📄 Arbeitsblatt 1 öffnen

🎯 Selbstlern-Check (Phase 4) Erledigt

Übungs-Check & Muster-Detektiv

Arbeite im Tafelbild Phase 3 & Phase 4 durch: Prüfe deine Annäherungswerte für P(1 | 1) und das Blitzer-Beispiel.

🔍 Zu Phase 3 & 4 im Tafelbild

Stunde 2

Die Ableitungsfunktion f'(x) & Die Ableitungsregeln

⚙️ Das formale Handwerkszeug

Lernziele: • Zusammenhang zwischen Graph f(x) und Steigungsgraph f'(x) • 5-Schritte-Herleitung (h-Methode) • Potenz-, Faktor- & Konstantenregel sicher anwenden

🖥️ Interaktives Tafelbild Erledigt

Synchron-Labor & 5-Schritte-Beweis

Synchronisierter Graph (f(x) oben, f'(x) unten), interaktive h-Methode zum Kürzen und Muster-Detektiv für xⁿ.

▶ Tafelbild Stunde 2 öffnen

📄 DIN-A4 Arbeitsblatt Erledigt

Arbeitsblatt 2: Herleitung & Regeln

3-seitiges Arbeitsblatt inkl. Lösungs-Schalter und Erwartungshorizont (Steigungs-Sammelstelle, h-Methode, gestuftes Training).

📄 Arbeitsblatt 2 öffnen / drucken

⚡ Selbstlern-Trainer Erledigt

Intensiv-Trainer: Ableitungsregeln

Zufallsgenerator (Leicht → Schwer) für Potenz-, Faktor- und Summenregel sowie konkrete Tangentensteigungen m = f'(x₀).

🚀 Ableitungs-Trainer starten

Stunde 3 • Aktuell

Die vollständige Tangentengleichung t(x) = m · x + b aufstellen

🔥 Neues Stundenthema

Lernziele: • Vom bloßen Steigungswert m = f'(x₀) zur fertigen Geradengleichung y = m · x + b • Das 3-Schritte-Rezept sicher beherrschen • Visuelle Kontrolle am Funktionsgraphen

🖥️ Interaktives Tafelbild Erledigt

Das 3-Schritte-Rezept zur Tangente

Warum reicht m allein noch nicht? Interaktive Herleitung von y₀ = f(x₀), m = f'(x₀) und dem y-Achsenabschnitt b.

▶ Tafelbild Stunde 3 öffnen

📄 DIN-A4 Arbeitsblatt Erledigt

Arbeitsblatt 3: Tangentengleichungen

Geführte Musterbeispiele, grafische Zuordnung, gestuftes Training (von positivem x₀ bis zu Vorzeichenfallen) inkl. Lösungsblatt.

📄 Arbeitsblatt 3 öffnen / drucken

🏆 Haupt-Trainer (3 Level) Erledigt

Interaktiver Tangenten-Trainer

Prüft jeden Zwischenschritt (y₀, m, Einsetzen für b) einzeln und zeichnet deine berechnete Tangente live zur Kontrolle in den Graphen!

🚀 Tangenten-Trainer starten