Differentialrechnung III: Die Tangentengleichung t(x) = m · x + b

Vom einzelnen Steigungswert m = f'(x₀) zur vollständigen Geradengleichung der Tangente

Name: _______________________ Datum: ____________

1. Das b-Problem: Warum reicht die Steigung m = 4 allein noch nicht? Phase 1 am Tafelbild

Für die Normalparabel f(x) = x² kennen wir aus Stunde 2 die Ableitungsfunktion f'(x) = 2x. An der Stelle x₀ = 2 im Punkt P(2 | 4) hat die Tangente die Steigung m = f'(2) = 2 · 2 = 4. Doch welche Geradengleichung gehört zu dieser Tangente?

Parallel-Verschiebung: Geraden mit Steigung m = 4

Aufgabe 1: Vergleiche im Koordinatensystem die gestrichelte Ursprungsgerade g₁(x) = 4x mit der grünen Tangente t(x) und ergänze:

• Jede Gerade hat die allgemeine Funktionsgleichung:

t(x) = m · x + b

• Setzt man x = 2 in g₁(x) = 4x ein, erhält man y = 4 · 2 = 8.
Die Gerade g₁ geht also über dem Berührpunkt P(2 | 4) vorbei!
• Erst wenn man die Gerade um 4 Einheiten nach unten verschiebt, berührt sie P(2 | 4).
• Sie schneidet die y-Achse dann bei b = −4.
• Die vollständige Tangentengleichung lautet: t(x) = 4x − 4.

2. Das 3-Schritte-Standardrezept: Wie berechnet man t(x) = m · x + b ohne Zeichnung? Phase 2 am Tafelbild

Aufgabe 2: Vervollständige das allgemeine 3-Schritte-Rezept und rechne rechts direkt das zweite Beispiel f(x) = x² + 2 an der Stelle x₀ = 1 durch:

Arbeitsschritt	Allgemeiner Bauplan	Muster: f(x) = x² bei x₀ = 2	Dein Training: f(x) = x² + 2 bei x₀ = 1
1Berührpunkt P(x₀\|y₀) „Höhen-Maschine f(x)“	x₀ in f(x) einsetzen: y₀ = f(x₀)	y₀ = f(2) = 2² = 4 ⇒ P(2 \| 4)	y₀ = f(1) = 1² + 2 = 3 ⇒ P(1 \| 3)
2Steigung m „Steigungs-Maschine f'(x)“	1. Ableitung f'(x) bilden 2. m = f'(x₀)	f'(x) = 2x m = f'(2) = 2 · 2 = 4	f'(x) = 2x m = f'(1) = 2
3aEinsetzen in Gerade Punkt & m in y = m·x + b	y₀ = m · x₀ + b (Produkt m·x₀ ausrechnen!)	4 = 4 · 2 + b 4 = 8 + b	3 = 2 · 1 + b 3 = 2 + b
3bNach b auflösen & t(x) Fertige Gleichung notieren	Nach b umstellen ⇒ t(x) = m · x + b	b = 4 − 8 = −4 t(x) = 4x − 4	b = 1 t(x) = 2x + 1

💡 Goldene Eselsbrücke (Nie wieder f und f' verwechseln!):
• Die Originalfunktion f(x) ist die „Höhen-Maschine“: Setzt man x₀ ein, liefert sie die Kurvenhöhe y₀.
• Die Ableitungsfunktion f'(x) ist die „Steigungs-Maschine“: Setzt man x₀ ein, liefert sie die Tangentensteigung m.

Differentialrechnung III: Stolperfallen & Grafische Kontrolle

Negative Stellen (x₀ < 0), waagerechte Tangenten (m = 0) und Zuordnung am Graphen

Seite 2

3. Zwei wichtige Klausur-Fälle: Negative Stelle x₀ < 0 und Waagerechte Tangente Phase 3 am Tafelbild

⚠️ Fall A (Vorzeichen-Falle): Negative Stelle x₀ = −2
Bestimme die Tangente an f(x) = 0,5x² + 1 bei x₀ = −2.

1. Punkt y₀ (Klammer beim Quadrieren!):
y₀ = 0,5 · (−2)² + 1 = 0,5 · 4 + 1 = 3 ⇒ P(−2 | 3)
2. Steigung m:
f'(x) = 1x = x ⇒ m = f'(−2) = −2
3a. Einsetzen in y₀ = m · x₀ + b (Minus mal Minus!):
3 = (−2) · (−2) + b ⇒ 3 = +4 + b
3b. Auflösen & Gleichung:
b = 3 − 4 = −1 ⇒ t(x) = −2x − 1

⛰️ Fall B (Scheitelpunkt): Waagerechte Tangente (m = 0)
Bestimme die Tangente an f(x) = x² − 4x + 5 bei x₀ = 2.

1. Punkt y₀:
y₀ = 2² − 4 · 2 + 5 = 4 − 8 + 5 = 1 ⇒ P(2 | 1)
2. Steigung m:
f'(x) = 2x − 4 ⇒ m = 2 · 2 − 4 = 0
3a/b. Einsetzen & Gleichung:
1 = 0 · 2 + b ⇒ b = 1 ⇒ t(x) = 0x + 1 = 1
Merke: Bei m = 0 verläuft die Tangente waagerecht auf Höhe y₀!

4. Der Visuelle Realitäts-Check: Passen Rechnung und Graph zusammen? Grafik-Detektiv

Parabel f(x) = 0,5x² − 1 mit drei Tangenten A, B und C

Aufgabe 3 (Grafik-Check ohne Taschenrechner): Ordne den drei eingezeichneten Tangenten A, B und C an die Parabel f(x) = 0,5x² − 1 jeweils die passende Gleichung zu und begründe anhand von Steigung m und Achsenabschnitt b:

Gleichung	Tangente	Begründung am Graphen
t₁(x) = 2x − 3	Gerade C	Steigung m = +2 (steigend), Berührpunkt bei x₀ = 2
t₂(x) = −1	Gerade B	Steigung m = 0 (waagerecht am Scheitelpunkt)
t₃(x) = −2x − 3	Gerade A	Steigung m = −2 (fallend), schneidet y-Achse bei b = −3

5. Fehlersuche: Wo steckt der Fehler in Tims Klausurrechnung? Typischer Klausurfehler

Aufgabe 4: Tim sollte die Tangente an f(x) = x³ an der Stelle x₀ = 2 aufstellen. Seine Rechnung lautet:
„Schritt 1 & 2: f'(x) = 3x² ⇒ m = f'(2) = 3 · 2² = 12. Schritt 3: 2 = 12 · 2 + b ⇒ b = −22 ⇒ t(x) = 12x − 22.“
Welchen Fehler hat Tim gemacht, und wie lautet die richtige Tangentengleichung?
Antwort: Tim hat in Schritt 3 für y₀ versehentlich x₀ = 2 statt y₀ = f(2) = 8 eingesetzt!
Richtige Rechnung für Schritt 3: 8 = 12 · 2 + b ⇒ b = −16 ⇒ t(x) = 12x − 16.

Differentialrechnung III: Gestuftes Training (Leicht → Schwer)

Selbstständige Anwendung des 3-Schritte-Rezepts (zur Vorbereitung auf den Online-Trainer)

Seite 3

6. Gestuftes Training: Bestimme jeweils die vollständige Tangentengleichung t(x) Phase 4 & Selbstlernphase

Aufgabe 5: Berechne für jede Funktion nach dem 3-Schritte-Rezept die Tangentengleichung t(x) = m · x + b. Kontrolliere deine Ergebnisse anschließend mit dem Purzel-Kontrollkasten unten!

a) Stufe 1 (Basis): f(x) = x² + 3x bei x₀ = 2

1. y₀ = f(2) = 4 + 6 = 10 ⇒ P(2 | 10)
2. f'(x) = 2x + 3 ⇒ m = f'(2) = 7
3. 10 = 7 · 2 + b ⇒ b = −4
⇒ t(x) = 7x − 4

b) Stufe 1 (Mit Vorfaktor): f(x) = 2x² − 1 bei x₀ = 3

1. y₀ = f(3) = 2·9 − 1 = 17 ⇒ P(3 | 17)
2. f'(x) = 4x ⇒ m = f'(3) = 12
3. 17 = 12 · 3 + b ⇒ b = −19
⇒ t(x) = 12x − 19

c) Stufe 2 (Grad 3): f(x) = x³ − 2x bei x₀ = 2

1. y₀ = f(2) = 8 − 4 = 4 ⇒ P(2 | 4)
2. f'(x) = 3x² − 2 ⇒ m = f'(2) = 10
3. 4 = 10 · 2 + b ⇒ b = −16
⇒ t(x) = 10x − 16

d) Stufe 2 (Negative Steigung): f(x) = −x² + 4x bei x₀ = 3

1. y₀ = f(3) = −9 + 12 = 3 ⇒ P(3 | 3)
2. f'(x) = −2x + 4 ⇒ m = f'(3) = −2
3. 3 = (−2) · 3 + b ⇒ b = +9
⇒ t(x) = −2x + 9

e) Stufe 2 (Negatives x₀!): f(x) = x² − 2x + 1 bei x₀ = −1

1. y₀ = (−1)² − 2(−1) + 1 = 4 ⇒ P(−1 | 4)
2. f'(x) = 2x − 2 ⇒ m = f'(−1) = −4
3. 4 = (−4) · (−1) + b ⇒ b = 0
⇒ t(x) = −4x

f) Stufe 3 (Dezimalfaktor): f(x) = 0,5x³ + 2 bei x₀ = −2

1. y₀ = 0,5 · (−8) + 2 = −2 ⇒ P(−2 | −2)
2. f'(x) = 1,5x² ⇒ m = f'(−2) = 6
3. −2 = 6 · (−2) + b ⇒ b = +10
⇒ t(x) = 6x + 10

g) Stufe 3 (Profi – Steigung m = 6 vorgegeben!):
An welcher Stelle x₀ hat f(x) = x² + 1 die Steigung m = 6? Stelle dort auch die Tangentengleichung auf!

1. Stelle finden: f'(x) = 2x = 6 ⇒ x₀ = 3
2. Punkt: y₀ = f(3) = 10
3. Einsetzen: 10 = 6 · 3 + b ⇒ b = −8 ⇒ t(x) = 6x − 8

h) Stufe 3 (Profi – Parallel zu einer Geraden!):
Gesucht ist die Tangente an f(x) = x² − 2x, die parallel zur Geraden g(x) = 4x + 5 verläuft.

1. Parallel heißt gleiche Steigung: m = 4
2. Stelle: f'(x) = 2x − 2 = 4 ⇒ x₀ = 3, y₀ = f(3) = 3
3. Einsetzen: 3 = 4 · 3 + b ⇒ b = −9 ⇒ t(x) = 4x − 9

🔎 Purzel-Kontrollkasten für Aufgabe 5 (Endgleichungen in gemischter Reihenfolge):
t(x) = 10x − 16 | t(x) = 4x − 9 | t(x) = 7x − 4 | t(x) = −4x | t(x) = 6x + 10 | t(x) = 12x − 19 | t(x) = −2x + 9 | t(x) = 6x − 8

🚀 Nächster Schritt für die Selbstlernphase / Praktikum: Öffne jetzt auf der Startseite den interaktiven Tangenten-Trainer (Stunde 3). Dort kannst du unbegrenzt neue Aufgaben auf allen 3 Leveln trainieren und siehst deine berechnete Tangente sofort live im Funktionsgraphen!

LÖSUNGSBLATT & ERWARTUNGSHORIZONT (Stunde 3)

Vollständige Musterlösungen zu Seite 1 bis 3 (passend zum Predia-Tafelbild Stunde 3)

Lehrkraft- & Selbstkontroll-Ausgabe

Lösungen zu Seite 1: Das b-Problem & 3-Schritte-Rezept (Aufgabe 1 & 2) Aufgabe 1 & 2

• Aufgabe 1 (Parallel-Verschiebung): Allgemeine Geradengleichung t(x) = m · x + b. Für x = 2 liefert g₁(2) = 8. Verschiebung um 4 Einheiten nach unten ergibt b = −4 und damit t(x) = 4x − 4.
• Aufgabe 2 (Training f(x) = x² + 2 bei x₀ = 1):
  1. Punkt: y₀ = f(1) = 1² + 2 = 3 ⇒ P(1 | 3)
  2. Steigung: f'(x) = 2x ⇒ m = f'(1) = 2
  3a/b. Einsetzen: 3 = 2 · 1 + b ⇒ 3 = 2 + b ⇒ b = 1 ⇒ t(x) = 2x + 1.

Lösungen zu Seite 2: Stolperfallen, Grafik-Check & Fehlersuche (Aufgabe 3 & 4) Aufgabe 3 & 4

• Fall A (f(x) = 0,5x² + 1 bei x₀ = −2): 1. y₀ = 0,5 · 4 + 1 = 3 ⇒ P(−2 | 3) | 2. f'(x) = x ⇒ m = −2 | 3. 3 = (−2)·(−2) + b ⇒ 3 = 4 + b ⇒ b = −1 ⇒ t(x) = −2x − 1.
• Fall B (f(x) = x² − 4x + 5 bei x₀ = 2): 1. y₀ = 1 ⇒ P(2 | 1) | 2. f'(x) = 2x − 4 ⇒ m = 0 | 3. t(x) = 1 (waagerechte Tangente am Scheitelpunkt).
• Aufgabe 3 (Grafik-Zuordnung): t₁(x) = 2x − 3 gehört zu Gerade C (steigend, x₀ = 2) | t₂(x) = −1 gehört zu Gerade B (waagerecht am Scheitel) | t₃(x) = −2x − 3 gehört zu Gerade A (fallend, b = −3).
• Aufgabe 4 (Tims Fehler): Tim hat y₀ = f(2) = 2³ = 8 vergessen und stattdessen x₀ = 2 links für y₀ eingesetzt. Richtig: 8 = 12 · 2 + b ⇒ 8 = 24 + b ⇒ b = −16 ⇒ t(x) = 12x − 16.

Lösungen zu Seite 3: Gestuftes Training (Aufgabe 5a bis 5h) Aufgabe 5

Aufg.	Funktion & Stelle	1. Berührpunkt P(x₀ \| y₀)	2. Ableitung & Steigung m	3. Einsetzen für b	Fertige Tangente t(x)
5a)	f(x) = x² + 3x; x₀ = 2	f(2) = 4 + 6 = 10 ⇒ P(2\|10)	f'(x) = 2x + 3 ⇒ m = 7	10 = 7·2 + b ⇒ b = −4	t(x) = 7x − 4
5b)	f(x) = 2x² − 1; x₀ = 3	f(3) = 18 − 1 = 17 ⇒ P(3\|17)	f'(x) = 4x ⇒ m = 12	17 = 12·3 + b ⇒ b = −19	t(x) = 12x − 19
5c)	f(x) = x³ − 2x; x₀ = 2	f(2) = 8 − 4 = 4 ⇒ P(2\|4)	f'(x) = 3x² − 2 ⇒ m = 10	4 = 10·2 + b ⇒ b = −16	t(x) = 10x − 16
5d)	f(x) = −x² + 4x; x₀ = 3	f(3) = −9 + 12 = 3 ⇒ P(3\|3)	f'(x) = −2x + 4 ⇒ m = −2	3 = (−2)·3 + b ⇒ b = 9	t(x) = −2x + 9
5e)	f(x) = x² − 2x + 1; x₀ = −1	f(−1) = 1 + 2 + 1 = 4 ⇒ P(−1\|4)	f'(x) = 2x − 2 ⇒ m = −4	4 = (−4)·(−1) + b ⇒ b = 0	t(x) = −4x
5f)	f(x) = 0,5x³ + 2; x₀ = −2	f(−2) = −4 + 2 = −2 ⇒ P(−2\|−2)	f'(x) = 1,5x² ⇒ m = 6	−2 = 6·(−2) + b ⇒ b = 10	t(x) = 6x + 10
5g)	f(x) = x² + 1; m = 6 gegeben	f'(x) = 2x = 6 ⇒ x₀ = 3; y₀ = 10	m = 6 (vorgegeben)	10 = 6·3 + b ⇒ b = −8	t(x) = 6x − 8
5h)	f(x) = x² − 2x; parallel zu 4x+5	m = 4 ⇒ 2x−2 = 4 ⇒ x₀ = 3; y₀ = 3	m = 4 (da parallel)	3 = 4·3 + b ⇒ b = −9	t(x) = 4x − 9