🎧 Selbstlern-Hinweis (Phase 1): In Stunde 2 haben wir für f(x) = x² bei x₀ = 2 die Steigung m = 4 berechnet. Schiebe unten den Regler für b so lange nach links, bis die Gerade genau durch den Punkt P(2 | 4) läuft!
📐 Verschiebe-Labor: Welche Gerade mit m = 4 trifft P(2 | 4)?
👉 Verschiebe den y-Achsenabschnitt b der Geraden g(x) = 4x + b:b = 0,0
Zielpunkt auf Parabel
P(2 | 4)
Aktuelle Geradengleichung
y = 4x + 0
Probe bei x = 2:
y = 4·2 + 0 = 8 ≠ 4
🤔 Impuls 1: Warum reicht die Steigung m = 4 allein noch nicht?
Aus Stunde 2 wissen wir: Für f(x) = x² liefert die Ableitung f'(x) = 2x an der Stelle x₀ = 2 sofort die Tangentensteigung m = f'(2) = 4.
Der häufigste Irrtum: Viele schreiben jetzt einfach t(x) = 4x hin.
Schau links in den Graphen (für b = 0): Was stimmt an der Geraden y = 4x schon – und was ist noch falsch?
👉 Antippen: Beobachtung aufdecken
• Die Steilheit (Steigung m = 4) stimmt bereits!
• Aber die Gerade y = 4x verläuft durch (2 | 8) statt durch unseren Berührpunkt P(2 | 4). Sie muss noch parallel verschoben werden!
🔑 Impuls 2: Welche beiden Bauteile braucht jede Gerade?
Jede Tangente ist eine lineare Funktion (Gerade) und hat deshalb die allgemeine Gleichung:
t(x) = m · x + b
1. Bauteil m (Steigung): Wie berechnen wir m?
? Antippenm = f'(x₀)
2. Bauteil b (y-Achsenabschnitt): Wo liest man b für P(2|4) ab?
? Antippenb = −4 ⇒ t(x) = 4x − 4
Überleitung zu Phase 2: Im Graphen konnten wir b = −4 durch Verschieben ablesen. Wie berechnen wir b aber ohne Zeichnung schnell und exakt?
🎧 Selbstlern-Hinweis (Phase 2): Decke die Tabelle Schritt für Schritt auf (Button „▶ Nächster Schritt“). Achte besonders auf Schritt 3a und 3b: Wir setzen x₀, y₀ und m in y₀ = m · x₀ + b ein, rechnen erst das Produkt m · x₀ aus und lösen dann nach b auf!
📋 Das 3-Schritte-Standardrezept zum Aufstellen jeder Tangentengleichung
Aufgabenstellung: Bestimme die Gleichung der Tangente t(x) = m · x + b an f(x) = x² an der Stelle x₀ = 2.
Arbeitsschritt
Allgemeiner Bauplan (Für jede Funktion)
Konkrete Rechnung für f(x) = x² bei x₀ = 2
1Berührpunkt P(x₀ | y₀) berechnen (Falls nur x₀ gegeben ist)
Setze x₀ in die Originalfunktion f(x) ein: y₀ = f(x₀)
1. Ableitungsfunktion f'(x) bilden.
2. x₀ in f'(x) einsetzen: m = f'(x₀)
? Schritt 2: Ableiten & m berechnen
f'(x) = 2x ⇒ m = f'(2) = 2 · 2 = 4
3aIn Geradengleichung einsetzen (Punkt P liegt auf der Tangente!)
Setze x₀, y₀ und m in die Gleichung ein: y₀ = m · x₀ + b
? Schritt 3a: Zahlen einsetzen & malnehmen4 = 4 · 2 + b ⇒ 4 = 8 + b
3bNach b auflösen & Gleichung notieren
Löse nach b auf und schreibe die fertige Gleichung t(x) = m · x + b hin.
? Schritt 3b: Nach b auflösen
4 = 8 + b | −8 ⇒ b = −4 ⇒ t(x) = 4x − 4
💡 Goldene Eselsbrücke für Klausuren:
• Das normale f(x) ist die „Höhen-Maschine“ (liefert den y-Wert y₀ des Punktes).
• Die Ableitung f'(x) ist die „Steigungs-Maschine“ (liefert die Steigung m der Tangente).
🎧 Selbstlern-Hinweis (Phase 3): Hier lauern die zwei wichtigsten Klausur-Besonderheiten! Links siehst du, worauf man bei negativen x-Werten (x₀ < 0) achten muss (Klammern setzen!). Rechts verbinden wir die Tangente mit dem Scheitelpunkt (m = 0).
⚠️ Stolperfalle A: Negative Stelle x₀ = −2
Aufgabe: Bestimme die Tangente an f(x) = 0,5x² + 1 an der Stelle x₀ = −2.
? Schritt 31 = 0 · 2 + b ⇒ b = 1 ⇒ t(x) = 1 (waagerecht!)
Merke: Ist die Steigung m = 0 (am Hoch- oder Tiefpunkt), verläuft die Tangente waagerecht auf der Höhe y₀: Es gilt sofort t(x) = y₀!
🎧 Selbstlern-Hinweis (Phase 4): Rechne diese 4 Aufgaben zunächst selbst auf einem Notizblatt durch und decke danach die 4 Teilschritte zur Kontrolle einzeln auf. Klicke anschließend unten auf „🚀 Zum interaktiven Tangenten-Trainer“!
🎯 Gestuftes Tafel-Training (Erst selbst rechnen, dann Schritt für Schritt aufdecken!)