Stunde 2 Differentialrechnung: Herleitung & Ableitungsregeln
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📈 Synchron-Grafiklabor: Kurve f(x) & Steigungsgraph f'(x)

👉 Ziehe Punkt P direkt im Graphen oder per Regler: x₀ = 2
Oben: Punkt auf f(x)
P(2 | 4)
Tangentensteigung m = f'(x₀)
f'(2) = 4
Unten: Punkt auf f'(x)
S(2 | 4)

📋 Die Steigungs-Sammelstelle für f(x) = x²

Tippe auf eine Zeile, um an diese Stelle x zu springen, und decke die zugehörige Tangentensteigung f'(x) auf:

Stelle x Kurvenpunkt P(x | x²) Tangentensteigung f'(x) Neuer Punkt (x | f'(x))
x = -3 (-3 | 9)
? Antippen -6 (steil fallend)
noch verdeckt
x = -2 (-2 | 4)
? Antippen -4 (fallend)
noch verdeckt
x = -1 (-1 | 1)
? Antippen -2 (leicht fallend)
noch verdeckt
x = 0 (0 | 0) Scheitel
? Waagerecht! 0 (waagerecht)
noch verdeckt
x = 1 (1 | 1)
? Antippen +2 (aus Stunde 1)
(1 | 2) ✔
x = 2 (2 | 4)
? Antippen +4 (aus Stunde 1)
(2 | 4) ✔
x = 3 (3 | 9)
? Antippen +6 (steil steigend)
noch verdeckt
Entdeckung (Ableitungsfunktion): Alle Steigungspunkte (x | f'(x)) der Parabel f(x) = x² liegen auf einer Geraden mit der Gleichung:
f'(x) =
? Gleichung aufdecken 2 · x

🔍 3 goldene Grafik-Regeln: Wie hängen f(x) und f'(x) zusammen?

1. Scheitelpunkt / Extrempunkt bei f(x) (waagerechte Tangente):
? Was macht f'(x)? Nullstelle bei f'(x) (f'(x) = 0)
2. Kurve f(x) fällt (links vom Scheitelpunkt):
? Was macht f'(x)? f'(x) ist negativ (unter der x-Achse)
3. Kurve f(x) steigt (rechts vom Scheitelpunkt):
? Was macht f'(x)? f'(x) ist positiv (über der x-Achse)

📐 Live-Steigungsdreieck zum Beweis

Horizontaler Abstand h = Δx verkleinern: h = 1,00
💡 Brücke zur Tabelle aus Stunde 1 (für P(2 | 4)):
Solange h ≠ 0 ist, gilt nach dem Kürzen (Schritt 4) für die Sekantensteigung:
mSekante = 4 + 1,00 = 5,00   |   Allgemein: ms = 2x + h
Deshalb ergab unsere Tabelle in Stunde 1 für h = 0,1 sofort 4,1 und für h = 0,01 sofort 4,01!

🧮 5-Schritte-Herleitung: Warum dürfen wir nicht sofort h = 0 einsetzen?

Das 0/0-Hindernis: Setzen wir im Differenzenquotienten sofort h = 0 ein, teilen wir durch 0 (Verboten!).
Unser Ziel: Den Zähler so umformen, dass wir das störende h im Nenner herauskürzen können!
Schritt Konkret am Punkt P(2 | 4) Allgemein für jede Stelle x Erklärung
1Einsetzen in den Differenzenquotienten
? Schritt 1 (für x=2) ms = (2 + h)² − 2²h
? Schritt 1 (allgemein) ms = (x + h)² − x²h
Punkt Q(x+h) und Punkt P(x) in f(x)=x² einsetzen.
2Klammer auflösen (1. Binomische Formel)
? (2 + h)² auflösen ms = 4 + 4h + h² − 4h
? (x + h)² auflösen ms = x² + 2xh + h² − x²h
(a+b)² = a² + 2ab + b²
3Zähler aufräumen (Vereinfachen)
? 4 − 4 fällt weg ms = 4h + h²h
? x² − x² fällt weg ms = 2xh + h²h
Vorne +x² und hinten −x² heben sich auf!
4h ausklammern & kürzen! (Der Schlüssel)
? h kürzen (x=2) h · (4 + h)h = 4 + h
? h kürzen (allgemein) h · (2x + h)h = 2x + h
Der Bruchstrich ist weg! Keine Division durch 0 mehr!
5Grenzübergang h → 0 (Differentialquotient)
? Grenzwert h → 0 f'(2) = limh→0(4 + h) = 4
? Grenzwert h → 0 f'(x) = limh→0(2x + h) = 2x
Wenn h → 0 schrumpft, bleibt exakt 2x übrig!

🕵️‍♂️ Muster-Detektiv: Wie leitet man höhere Potenzen xn ab?

Führt man dieselbe Grenzwert-Herleitung für x³ und x⁴ durch, zeigt sich ein klares Muster. Decke Zeile für Zeile auf:

Ausgangsfunktion f(x) Ableitungsfunktion f'(x) Was passiert mit der Hochzahl?
f(x) = x2
? Ableitung 2 · x1 = 2x
Hochzahl 2 nach vorne, oben 2 − 1 = 1
f(x) = x3
? Ableitung von x³ 3 · x2
? Beobachtung Hochzahl 3 nach vorne, oben 3 − 1 = 2
f(x) = x4
? Ableitung von x⁴ 4 · x3
? Beobachtung Hochzahl 4 nach vorne, oben 4 − 1 = 3
f(x) = x5
? Schüler-Vorhersage! 5 · x4
Hochzahl 5 nach vorne, oben 5 − 1 = 4
f(x) = x = x1
? Spezialfall x¹ 1 · x0 = 1
Gerade f(x) = 1x hat überall die Steigung 1!
Allgemein: f(x) = xn
? Allgemeine Potenzregel n · xn − 1
„Hochzahl nach vorne, oben eins abziehen!“

🧰 Der komplette Werkzeugkasten zum Ableiten

1. Die Potenzregel:
f(x) = xn   ⇒   f'(x) = n · xn−1
Merkspruch: Alte Hochzahl als Faktor nach vorne ziehen, neue Hochzahl um 1 verkleinern.
2. Die Konstantenregel (Zahl ohne x beim + oder −):
Beispiel: f(x) = x² + 3   ⇒   f'(x) =
? Aufdecken 2x  (die +3 fällt weg!)
Grafische Begründung: +3 verschiebt die Parabel nur nach oben – die Steilheit ändert sich an keiner Stelle!
3. Die Faktorregel (Vorzahl mit Malpunkt):
Beispiel: f(x) = 4 · x³   ⇒   f'(x) =
? Aufdecken 4 · 3x2 = 12x²
Merkspruch: Ein Faktor mit Malpunkt bleibt stehen und wird mit der vorgezogenen Hochzahl multipliziert.

🏆 Teil A: Transfer-Check zur Herleitung – Schaffen wir f(x) = 3x² mit der h-Methode?

1. Einsetzen
? Schritt 1 3(x+h)² − 3x²h
2. Binom & Mal 3
? Schritt 2 3x² + 6xh + 3h² − 3x²h
3. Aufräumen
? Schritt 3 6xh + 3h²h
4. h kürzen
? Schritt 4 h(6x + 3h)h = 6x + 3h
5. Limes h → 0
? Schritt 5 f'(x) = 6x

🎯 Teil B: Gemeinsames Tafel-Training (Erst erklären, dann antippen!)

Aufgabe 1: Potenzregel pur
f(x) = x6
1. Zwischenschritt 6 · x6−1
2. Lösung f'(x) f'(x) = 6x5
Aufgabe 2: Mit Vorfaktor
f(x) = 0,5 · x2
1. Zwischenschritt 0,5 · 2 · x1
2. Lösung f'(x) f'(x) = 1x = x
Aufgabe 3: Faktor + Konstante
f(x) = 4x3 + 9
1. Zwischenschritt 4 · 3x2 + 0
2. Lösung f'(x) f'(x) = 12x2
Aufgabe 4: Zusammengesetzt
f(x) = 2x3 − 5x2 + 4x − 7
1. Zwischenschritt 2·3x² − 5·2x¹ + 4·1 − 0
2. Lösung f'(x) f'(x) = 6x² − 10x + 4
Aufgabe 5: Konkrete Steigung bei x₀ = 2
Wie steil ist f(x) = x³ an der Stelle x₀ = 2?
1. Ableitung f'(x) f'(x) = 3x²
2. x₀ = 2 einsetzen f'(2) = 3 · 2² = 12
Aufgabe 6: Profi-Frage (Rückwärts!)
An welcher Stelle x hat f(x) = x² die Steigung m = 10?
1. Ansatz f'(x) = 2x = 10
2. Stelle x x = 5  (Punkt P(5 | 25))