Predia-Tafelbild: Einführung in die Differentialrechnung (Sekante & Tangente)

Stelle x auf dem Graphen verschieben: x = 1,0

Impuls 1 · Arbeitspapier Abschnitt 1 & 2 Antippen zum Aufdecken

Warum versagt das normale Steigungsdreieck bei f(x) = x²?

👉 Hier an der Tafel antippen, um die Antwort aufzudecken

Impuls 2 · Arbeitspapier Aufgabe 2

Die Tangente als „Steigungslupe“ im Punkt P(2 | 4)

Wir legen eine Gerade an, die die Parabel in P(2 | 4) nur berührt (lat. tangere = berühren). Geht man von P(2 | 4) um Δx = 1 nach rechts:

👉 Antippen: Ablese-Ergebnis für P(2 | 4) zeigen

Merksatz 1 & Überleitung zu Phase 2

Warum reicht das Zeichnen mit dem Lineal nicht?

👉 Antippen: Das „Genauigkeits-Dilemma“ aufdecken

Schnellwahl x₂:

💡 Tipp: Ziehe den Punkt Q direkt mit dem Finger auf der Parabel!

Hilfspunkt Q(x₂ | y₂) auf den festen Punkt P(2 | 4) zubewegen:

Abstand Δx = 2,00 m_s = 6,00

Merksatz 2 · Der Differenzenquotient Sekante = Schneidegerade (2 Punkte)

Live-Berechnung der Sekantensteigung m_s

m_Sekante = Δy Δx = y₂ − y₁ x₂ − x₁ = f(x₂) − f(x₁) x₂ − x₁

Fester Punkt: P(2 | 4) Wanderpunkt: Q(4 | 16)

m_s = 16 − 4 4 − 2 = 12 2 = 6

Denkpause · Arbeitspapier Seite 2 unten

Warum setzen wir nicht sofort x₂ = 2 in die Formel ein?

👉 Antippen oder Regler ganz nach links auf x₂ = 2 schieben!

Nächster Schritt auf dem Arbeitspapier

Ergebnisse in der Annäherungstabelle (Seite 3) sichern

Arbeitspapier Seite 3 · Aufgabe 3 (Annäherungstabelle für P(2 | 4))

Der Grenzübergang: Q(x₂ | x₂²) rückt unendlich nah an P(2 | 4) heran

Fester Punkt P	Wanderpunkt Q(x₂ \| y₂)	Abstand Δx = x₂ − 2	Höhe Δy = y₂ − 4	Sekantensteigung m_s = Δy / Δx
P(2 \| 4)	Q(4 \| 16)	4 − 2 = 2	16 − 4 = 12	12 / 2 = 6
P(2 \| 4)	Q(3 \| 9)	3 − 2 = 1	9 − 4 = 5	5 / 1 = 5
P(2 \| 4)	Q(2,5 \| 6,25)	2,5 − 2 = 0,5	6,25 − 4 = 2,25
P(2 \| 4)	Q(2,1 \| 4,41)	2,1 − 2 = 0,1
P(2 \| 4)	Q(2,01 \| 4,0401)	0,01	0,0401
Grenzfall (lim):	Q fällt auf P(2 \| 4)	Δx → 0	Δy → 0

Begriff 1 · Zwischen 2 Punkten Mittlere Änderungsrate

Der Differenzenquotient

• Geometrisches Bild: Steigung der Sekante (Schneidegerade durch 2 Punkte P und Q).
• Alltags-Beispiel: Durchschnittsgeschwindigkeit über eine längere Strecke (z. B. 120 km in 2 Stunden = 60 km/h).

m_Sekante = ΔyΔx = f(x₂) − f(x₁)x₂ − x₁

Begriff 2 · In 1 einzigen Punkt (Grenzfall) Lokale / Momentane Änderungsrate

Der Differentialquotient (Ableitung f '(x₁))

• Geometrisches Bild: Steigung der Tangente (Berührgerade in 1 Punkt P, wenn Q auf P wandert).
• Alltags-Beispiel: Momentangeschwindigkeit in einem Augenblick (Blick auf den Tacho / Blitzerfoto).

m_Tangente = f '(x₁) = lim x₂ → x₁ f(x₂) − f(x₁)x₂ − x₁

Ergebnissicherung · Arbeitspapier Seite 3 (Aufgabe 4 & 5)

Aufgabe 4: Eigener Grenzübergang im Punkt P(1 | 1)

Gesucht war die Tangentensteigung von f(x) = x² bei x₁ = 1 über m_s = (y₂ − 1) / (x₂ − 1):

1) Q(3 | 9)

m_s = 8 / 2 = 4

Aufgabe 5: Begriffscheck – Differenzenquotient (DQ) oder Differentialquotient (DiffQ)?

a) Auto fährt 120 km in 2 Stunden (Schnitt: 60 km/h)

b) Blitzerfoto misst exakt 78 km/h am Messpunkt

c) Geometrisch: Steigung der Sekante durch 2 Punkte

d) Geometrisch: Steigung der Tangente in 1 Punkt

Ausblick-Detektiv · Mustererkennung für die Folgestunde

Entdeckst du den Zusammenhang bei f(x) = x²?

Tippe nacheinander auf die vier Stellen x = 0, 1, 2, 3, um die jeweilige Tangente und ihre Steigung f '(x) einzublenden:

Stelle x	Tangentensteigung f '(x)
x = 0	f '(0) = 0
x = 1	f '(1) = 2
x = 2	f '(2) = 4
x = 3	f '(3) = 6

🔍 Hier antippen: Entdeckte Gesetzmäßigkeit (Ableitungsfunktion) aufdecken!