Differentialrechnung II: Die Ableitungsfunktion f'(x)

Vom einzelnen Steigungswert zur „Steigungs-Rechenmaschine“ und den Ableitungsregeln

Name: _______________________ Datum: ____________

1. Die Steigungs-Sammelstelle: Vom Einzelpunkt zum Graphen von f'(x) Phase 1 am Tafelbild

In der letzten Stunde haben wir für die Normalparabel f(x) = x² bereits zwei exakte Tangentensteigungen bestimmt: Bei x = 1 ist die Steigung f'(1) = 2 und bei x = 2 ist die Steigung f'(2) = 4. Jetzt sammeln wir die Steigungen für die gesamte Parabel!

Oben: Originalgraph f(x) = x² (Höhe der Kurve)

Aufgabe 1: Ergänze mithilfe der Symmetrie der Parabel (und dem Tafelbild) die fehlenden Tangentensteigungen f'(x). Trage anschließend alle Punkte (x | f'(x)) in das untere Koordinatensystem ein und verbinde sie!

Stelle x	Kurvenpunkt P(x \| y)	Tangentensteigung f'(x)	Punkt für f'(x)
x = −3	(−3 \| 9)	−6 (steil fallend)	(−3 \| −6)
x = −2	(−2 \| 4)	−4 (fallend)	(−2 \| −4)
x = −1	(−1 \| 1)	−2 (leicht fallend)	(−1 \| −2)
x = 0	(0 \| 0) Scheitel	0 (waagerecht!)	(0 \| 0)
x = 1	(1 \| 1)	+2 (aus Stunde 1)	(1 \| 2) ✔
x = 2	(2 \| 4)	+4 (aus Stunde 1)	(2 \| 4) ✔
x = 3	(3 \| 9)	+6 (steil steigend)	(3 \| 6)

Merksatz (Die Ableitungsfunktion):
Verbindet man alle Steigungspunkte (x | f'(x)) der Parabel f(x) = x², entsteht eine Gerade mit der Gleichung:

f'(x) = 2x

Diese Funktion heißt Ableitungsfunktion. Setzt man für x eine Zahl ein, liefert sie sofort die Tangentensteigung an dieser Stelle (z. B. bei x = 5 ist die Steigung f'(5) = 2 · 5 = 10).

2. Die 3 goldenen Grafik-Regeln: Wie hängen f(x) und f'(x) zusammen? Grafik-Check

Vergleiche das obere und untere Koordinatensystem und ergänze die drei Zusammenhänge:

Scheitelpunkt / Extrempunkt: Hat die Kurve f(x) einen Tief- oder Hochpunkt, verläuft die Tangente dort waagerecht (Steigung m = 0). Der Ableitungsgraph f'(x) hat an dieser Stelle eine Nullstelle.
Kurve fällt (links vom Scheitel): Wo der Graph von f(x) bergab geht, ist die Tangentensteigung negativ (< 0). Deshalb verläuft der Graph von f'(x) dort unterhalb der x-Achse.
Kurve steigt (rechts vom Scheitel): Wo der Graph von f(x) bergauf geht, ist die Tangentensteigung positiv (> 0). Deshalb verläuft der Graph von f'(x) dort oberhalb der x-Achse.

Differentialrechnung II: Rechnerische Herleitung von f'(x) = 2x

Wie wir das 0/0-Problem im Differenzenquotienten durch Umformen und Kürzen überwinden

Seite 2

3. Warum kommt bei f(x) = x² exakt f'(x) = 2x heraus? (Die h-Methode) Phase 2 am Tafelbild

Das 0/0-Hindernis beim Grenzübergang:
Den horizontalen Abstand Δx zwischen Punkt P und Hilfspunkt Q nennen wir kurz h.
Für die Sekantensteigung (Differenzenquotient) gilt dann:

m_s = ΔyΔx = f(x + h) − f(x)h = (x + h)² − x²h

Problem: Wir dürfen noch nicht sofort h = 0 einsetzen, weil man nicht durch 0 teilen darf!
Lösungsplan: Zähler umformen, bis wir das h im Nenner kürzen können!

Aufgabe 2 (Die 5-Schritte-Herleitung im Parallel-Vergleich): Vollziehe links die Rechnung für unseren Punkt P(2 | 4) nach und übertrage jeden Schritt rechts daneben auf ein allgemeines x!

Arbeitsschritt	Konkret am Punkt P(2 \| 4) (x = 2)	Allgemein für jede Stelle x	Hinweis
1Einsetzen in den Differenzenquotienten	m_s = (2 + h)² − 2²h	m_s = (x + h)² − x²h	Punkt Q und P in f(x)=x² einsetzen
2Klammer auflösen (1. Binomische Formel)	m_s = 4 + 4h + h² − 4h	m_s = x² + 2xh + h² − x²h	(a+b)² = a² + 2ab + b²
3Zähler aufräumen (Vereinfachen)	m_s = 4h + h²h	m_s = 2xh + h²h	Vorne +x² und hinten −x² heben sich auf!
4h ausklammern & kürzen! (Der Trick)	m_s = h · (4 + h)h = 4 + h	m_s = h · (2x + h)h = 2x + h	Bruchstrich ist weg!
5Grenzübergang h → 0 (Differentialquotient)	f'(2) = lim_h→0(4 + h) = 4	f'(x) = lim_h→0(2x + h) = 2x	Für h → 0 fällt +h hinten weg!

💡 Aha-Rückblick zur Annäherungstabelle aus Stunde 1 (für P(2 | 4)):
Schau auf das Ergebnis nach Schritt 4: Für jede Sekante durch P(2 | 4) gilt die einfache Formel m_Sekante = 4 + h.
• Für h = 1 (Punkt Q bei x₂ = 3) ist die Sekantensteigung: 4 + 1 = 5
• Für h = 0,1 (Punkt Q bei x₂ = 2,1) ist die Sekantensteigung: 4 + 0,1 = 4,1
• Für h = 0,01 (Punkt Q bei x₂ = 2,01) ist die Sekantensteigung: 4 + 0,01 = 4,01 → Für h → 0 bleibt exakt 4!

4. Transfer-Beweis: Schaffen wir die 5-Schritte-Herleitung auch für f(x) = 3x²? Teil A in Phase 4

Aufgabe 3: Leite nun nach genau demselben 5-Schritte-Fahrplan die Ableitungsfunktion für f(x) = 3x² her:

1. Einsetzen in DQ	2. Binom & Mal 3	3. Aufräumen	4. h ausklammern & kürzen	5. Limes h → 0
3(x+h)² − 3x²h	3x² + 6xh + 3h² − 3x²h	6xh + 3h²h	h · (6x + 3h)h	f'(x) = 6x

Differentialrechnung II: Ableitungsregeln & Training

Vom Muster-Detektiv zum sicheren Ableiten ganzrationaler Funktionen

Seite 3

5. Der Muster-Detektiv: Wie leitet man jede beliebige Potenz xⁿ ohne Tabelle ab? Phase 3 am Tafelbild

Aufgabe 4: Führt man die Grenzwert-Herleitung auch für x³ und x⁴ durch, erkennt man ein festes Baumuster. Entdecke das Muster und vervollständige die Tabelle:

Ausgangsfunktion f(x)	Ableitungsfunktion f'(x)	Was passiert mit der Hochzahl?
f(x) = x²	f'(x) = 2 · x¹ = 2x	Hochzahl 2 nach vorne, oben 2 − 1 = 1
f(x) = x³	f'(x) = 3 · x²	Hochzahl 3 nach vorne, oben 3 − 1 = 2
f(x) = x⁴	f'(x) = 4 · x³	Hochzahl 4 nach vorne, oben 4 − 1 = 3
f(x) = x⁵	f'(x) = 5 · x⁴	Hochzahl 5 nach vorne, oben 5 − 1 = 4
f(x) = x = x¹	f'(x) = 1 · x⁰ = 1	Die Gerade f(x) = 1x hat überall die Steigung 1
Allgemein: f(x) = xⁿ	f'(x) = n · xⁿ⁻¹	„Hochzahl nach vorne, oben eins abziehen!“

6. Der komplette Werkzeugkasten zum Ableiten Merksatz-Boxen

1. Potenzregel

f(x) = xⁿ ⇒ f'(x) = n · xⁿ⁻¹

Alte Hochzahl vor das x ziehen, neue Hochzahl um 1 verkleinern.

2. Konstantenregel (+ c)

f(x) = x² + 3 ⇒ f'(x) = 2x

Eine Zahl ohne x beim + oder − fällt weg (verschiebt den Graphen nur nach oben/unten).

3. Faktorregel (c · xⁿ)

f(x) = 4 · x³ ⇒ f'(x) = 12x²

Ein Faktor mit Malpunkt bleibt stehen und wird mit der Hochzahl multipliziert (4 · 3x²).

7. Gestuftes Training: Jetzt wird mit den Regeln abgeleitet! Phase 4 am Tafelbild

Aufgabe 5: Bestimme jeweils mit Zwischenschritt die Ableitungsfunktion f'(x) bzw. die gesuchte Steigung:

a) Potenzregel pur: f(x) = x⁶

f'(x) = 6 · x⁶⁻¹ = 6x⁵

b) Mit Vorfaktor: f(x) = 0,5 · x²

f'(x) = 0,5 · 2x¹ = 1x = x

c) Faktor + Konstante: f(x) = 4x³ + 9

f'(x) = 4 · 3x² + 0 = 12x²

d) Zusammengesetzt: f(x) = 2x³ − 5x² + 4x − 7

f'(x) = 6x² − 10x + 4

e) Konkrete Tangentensteigung bei x₀ = 2:
Wie steil ist f(x) = x³ an der Stelle x₀ = 2?
1. Ableitung: f'(x) = 3x²
2. Einsetzen: f'(2) = 3 · 2² = 12

f) Profi-Frage (Rückwärts denken!):
An welcher Stelle x hat f(x) = x² die Steigung m = 10?
Ansatz: f'(x) = 2x = 10 ⇒ x = 5

g) Zusatz 1: f(x) = 0,25x⁴ + 3x² − 8x

f'(x) = x³ + 6x − 8

h) Zusatz 2 (Waagerechte Tangente finden):
Wo hat f(x) = x² − 6x + 5 die Steigung m = 0?
f'(x) = 2x − 6 = 0 ⇒ x = 3

🔎 Purzel-Kontrollkasten für Aufgabe 5 (in gemischter Reihenfolge):
x = 5 | f'(x) = 12x² | x = 3 | f'(x) = 6x⁵ | f'(2) = 12 | f'(x) = x | f'(x) = 6x² − 10x + 4 | f'(x) = x³ + 6x − 8

LÖSUNGSBLATT & ERWARTUNGSHORIZONT (Stunde 2)

Vollständige Musterlösungen zu Seite 1 bis 3 (passend zum Predia-Tafelbild)

Lehrkraft-Ausgabe

Lösungen zu Seite 1: Steigungs-Sammelstelle & 3 Grafik-Regeln Aufgabe 1

Lösungsgraph unten: Gerade f'(x) = 2x

Ausgefüllte Wertetabelle (Aufgabe 1):

x	−3	−2	−1	0	1	2	3
f'(x)	−6	−4	−2	0	+2	+4	+6
Punkt	(−3\|−6)	(−2\|−4)	(−1\|−2)	(0\|0)	(1\|2)	(2\|4)	(3\|6)

• Merksatz: Ursprungsgerade mit f'(x) = 2x. Bei x = 5 gilt f'(5) = 10.
• 3 Grafik-Regeln: 1. waagerecht / Nullstelle | 2. negativ (< 0) / unterhalb | 3. positiv (> 0) / oberhalb.

Lösungen zu Seite 2: 5-Schritte-Herleitung (Aufgabe 2 & 3) Aufgabe 2 & 3

Schritt	Konkret am Punkt P(2 \| 4)	Allgemein für f(x) = x² (Aufgabe 2)	Transfer für f(x) = 3x² (Aufgabe 3)
1. Einsetzen	m_s = (2 + h)² − 2²h	m_s = (x + h)² − x²h	m_s = 3(x + h)² − 3x²h
2. 1. Binom	m_s = 4 + 4h + h² − 4h	m_s = x² + 2xh + h² − x²h	m_s = 3x² + 6xh + 3h² − 3x²h
3. Aufräumen	m_s = 4h + h²h	m_s = 2xh + h²h	m_s = 6xh + 3h²h
4. h kürzen	m_s = h · (4 + h)h = 4 + h	m_s = h · (2x + h)h = 2x + h	m_s = h · (6x + 3h)h = 6x + 3h
5. Limes h → 0	f'(2) = lim_h→0(4 + h) = 4	f'(x) = lim_h→0(2x + h) = 2x	f'(x) = lim_h→0(6x + 3h) = 6x

Lösungen zu Seite 3: Muster-Detektiv & Gestuftes Training (Aufgabe 4 & 5) Aufgabe 4 & 5

Aufgabe 4 (Muster-Detektiv): x³ → 3x² (3 nach vorne, oben 3−1=2) | x⁴ → 4x³ (4 nach vorne, oben 4−1=3) | x⁵ → 5x⁴ | x¹ → 1 | Allgemein: f'(x) = n · xⁿ⁻¹.
Werkzeugkasten: Konstantenregel f(x) = x² + 3 ⇒ f'(x) = 2x | Faktorregel f(x) = 4x³ ⇒ f'(x) = 12x².

5a) f(x) = x⁶ ⇒ f'(x) = 6 · x⁶⁻¹ = 6x⁵

5b) f(x) = 0,5x² ⇒ f'(x) = 0,5 · 2x¹ = 1x = x

5c) f(x) = 4x³ + 9 ⇒ f'(x) = 4 · 3x² + 0 = 12x²

5d) f(x) = 2x³ − 5x² + 4x − 7 ⇒ f'(x) = 6x² − 10x + 4

5e) f(x) = x³ bei x₀ = 2:
1. f'(x) = 3x² | 2. f'(2) = 3 · 2² = 3 · 4 = 12

5f) Wo hat f(x) = x² die Steigung m = 10?
Ansatz: f'(x) = 2x = 10 | :2 ⇒ x = 5 (Punkt P(5 | 25))

5g) f(x) = 0,25x⁴ + 3x² − 8x
f'(x) = 0,25 · 4x³ + 3 · 2x¹ − 8 · 1 = x³ + 6x − 8

5h) Wo hat f(x) = x² − 6x + 5 die Steigung m = 0?
f'(x) = 2x − 6 = 0 | +6 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3 (Scheitelpunkt!)

Didaktischer Hinweis für den Unterrichtsverlauf mit dem Predia-Tafelbild:
• Aufgabe 5h dient bereits als direkter Brückenschlag zur 3. Unterrichtsstunde (Extrempunktbestimmung mit der notwendigen Bedingung f'(x) = 0): Die Lernenden erkennen, dass man den Scheitelpunkt einer Parabel ab sofort ganz ohne quadratische Ergänzung in einer Zeile über f'(x) = 0 berechnen kann.