Bei einer Geraden ist die Steigung m überall gleich groß und lässt sich mit einem Steigungsdreieck über m = Δy / Δx sofort bestimmen. Bei einer gekrümmten Kurve wie der Parabel f(x) = x² ändert sich die Steilheit jedoch in jedem einzelnen Augenblick. Wie bestimmt man also die Steigung in einem einzigen Punkt P(2|4)?
1. Kurvenverlauf beschreiben (Abb. 1B): Vergleiche die Steilheit der Parabel f(x) = x² bei x = 0, x = 1 und x = 2: Je größer x wird, desto steiler steigt der Graph an.
2. Tangentensteigung in P(2|4) ablesen: Um die Richtung der Kurve exakt im Punkt P(2|4) zu erfassen, wurde in Abb. 1B eine Gerade angelegt, die den Graphen in P nur berührt (die Tangente). Lies mithilfe des eingezeichneten Steigungsdreiecks ihre Steigung ab:
Geht man vom Berührpunkt P(2|4) um Δx = 1 nach rechts, steigt die Tangente um Δy = 4 Einheiten nach oben. Damit gilt für die Tangentensteigung: mTangente = Δy / Δx = 4 / 1 = 4
3. Das Genauigkeits-Problem: Warum reicht das bloße Anlegen eines Lineals per Augenmaß in der Mathematik nicht aus? Notiere einen Grund:
Das Zeichnen einer Tangente per Hand liefert nur ungefähre Schätzwerte (kleine Winkelabweichungen verändern m).
Für die bekannte Steigungsformel m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) braucht man immer zwei Punkte. Bei der Tangente kennen wir aber nur einen einzigen Kurvenpunkt P(2|4). Die Rettungsidee: Wir wählen vorübergehend einen zweiten Hilfspunkt Q auf der Parabel und lassen ihn immer näher an P heranwandern!
1. Start-Sekante durch P(2|4) und Q₁(4|16): Setze die Koordinaten in den Differenzenquotienten ein:
ms = (16 - 4) / (4 - 2) = 6 (Vergleiche: Ist diese Sekante steiler oder flacher als die Tangente in Abb. 2A?) → Sie ist steiler.
2. Annäherung - Der Punkt rückt näher auf Q₂(3|9): Berechne die neue Sekantensteigung durch P(2|4) und Q₂(3|9):
ms = (9 - 4) / (3 - 2) = 5 / 1 = 5
Aufgabe 3: Wir lassen Q(x₂ | x₂²) extrem nah an P(2|4) heranrücken. Ergänze die fehlenden Werte in der Annäherungstabelle:
| Fester Punkt P | Wanderpunkt Q(x₂ | y₂) | Abstand Δx = x₂ - 2 | Höhe Δy = y₂ - 4 | Sekantensteigung ms = Δy / Δx |
|---|---|---|---|---|
| P(2 | 4) | Q(4 | 16) | 4 - 2 = 2 | 16 - 4 = 12 | 12 / 2 = 6 |
| P(2 | 4) | Q(3 | 9) | 3 - 2 = 1 | 9 - 4 = 5 | 5 / 1 = 5 |
| P(2 | 4) | Q(2,5 | 6,25) | 2,5 - 2 = 0,5 | 6,25 - 4 = 2,25 | 2,25 / 0,5 = 4,5 |
| P(2 | 4) | Q(2,1 | 4,41) | 2,1 - 2 = 0,1 | 4,41 - 4 = 0,41 | 0,41 / 0,1 = 4,1 |
| P(2 | 4) | Q(2,01 | 4,0401) | 0,01 | 0,0401 | 0,0401 / 0,01 = 4,01 |
| Grenzfall: | Q fällt auf P(2|4) | Δx → 0 | Δy → 0 | Zielwert (Tangente): mt = 4 |
4. Eigener Grenzübergang am Punkt P(1|1) der Parabel f(x) = x²:
Berechne die Sekantensteigung ms = (y₂ - 1) / (x₂ - 1) für immer kleinere Abstände zu x₁ = 1:
Folgerung: Welchen Wert hat der Differentialquotient im Punkt P(1|1)? → f'(1) = 2
5. Begriffscheck im Alltag - Differenzenquotient (DQ) oder Differentialquotient (DiffQ)?
| a) Ein Auto fährt 120 km in 2 Stunden (Schnitt: 60 km/h): DQ | b) Ein Blitzerfoto misst exakt 78 km/h am Messpunkt: DiffQ |
| c) Geometrisch: Steigung der Sekante durch 2 Punkte: DQ | d) Geometrisch: Steigung der Tangente in 1 Punkt: DiffQ |